已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn.如果a4=-12,a8=-4. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求Sn的最小值及其相应的n的值; (Ⅲ)从数列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8
题目
已知等差数列{an}的前n项的和记为Sn.如果a4=-12,a8=-4.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求Sn的最小值及其相应的n的值;
(Ⅲ)从数列{an}中依次取出a1,a2,a4,a8,…,a2n-1,…,构成一个新的数列{bn},求{bn}的前n项和.
答案
(Ⅰ)设公差为d,由题意,可得
⇔,解得
,
∴a
n=2n-20…(3分)
(Ⅱ)由数列{a
n}的通项公式a
n=2n-20得:
当n≤9时,a
n<0,
当n=10时,a
n=0,
当n≥11时,a
n>0.
∴当n=9或n=10时,S
n取得最小值,又S
n=
=(n-19)•n
∴S
9=S
10=-90…(6分)
(Ⅲ)记数列{b
n}的前n项和为T
n,由题意可知
bn=a2n-1=-18+(2n-1-1)×2=2n-20,
∴T
n=b
1+b
2+b
3+…+b
n=(2
1-20)+(2
2-20)+(2
3-20)+…+(2
n-20)
=(2
1+2
2+2
3+…+2
n)-20n=
-20n=2
n+1-20n-2…(12分)
(Ⅰ)可设等差数列{a
n}的公差为d,由a
4=-12,a
8=-4,可解得其首项与公差,从而可求得数列{a
n}的通项公式;
(Ⅱ)得到数列{a
n}的通项公式a
n=2n-20,可由
求得n取何值时S
n取得最小值,然后由求和公式可求得答案;
(Ⅲ)根据题意求得
bn=a2n−1=−18+(2n−1−1)×2=2n−20,利用分组求和法可求得数列{b
n}的前n项和为T
n.
等差数列的通项公式;等比数列的前n项和;数列的求和.
本题考查等差数列的通项公式,及数列求和公式,本题解答中的亮点在于利用等差数列的通项公式分析Sn的最值,显然比利用其求和公式,通过二次函数的配方法求最值方便的多.
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