f(x) 满足下列条件 f(x+y)=f(x)*f(y),而x趋向0时,g（x）=1 f(x)=1+xg(x)怎么证明这个函数处处可导?

题目

f(x) 满足下列条件 f(x+y)=f(x)*f(y),而x趋向0时,g（x）=1 f(x)=1+xg(x)怎么证明这个函数处处可导?
高数啊

答案

证明 ：
设x的无穷小是dx
x趋向0时,dx趋向0.
x趋向0时,g（x）=1 f(x)=1+xg(x)
f(o)趋向1
f'(x)=[f(x+dx)-f(x)]/[(x+dx)-x]
=[f(x)*f(dx)-f(x)]/dx
x趋向0时,dx趋向0,f(dx)=f(0)=1
f'(x)=f(x)*[f(dx)-1]/dx
=f(x)*[dx*g(dx)]/dx
=f(x)*g(dx)
=f(x)*1=f(x)
所以,f(x)可导.