设（1+a）平方n的展开式中,第五项、第六项、第七项这三项的系数成等差数列,则n的值为多少?

题目

设（1+a）平方n的展开式中,第五项、第六项、第七项这三项的系数成等差数列,则n的值为多少?

答案

(1+a)^n=1+na+C(n,1)a^2+...
第五六七项的系数分别是C(n,4),C(n,5)和C(n,6)..
也就是说n!/4!/(n-4)!+n!/6!/(n-6)!=2*n!/5!/(n-5)!,
等式两边同时除以n!,再同时乘以6!(n-4)!,得到:
30+(n-4)(n-5)=2*6(n-4),
化简得,
n^2-21n+98=0,
(n-7)(n-14)=0,
n=7或14..