如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连接CM. (1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系,并说明你的结论; (2)若PA=PB=PC,则△PMC是_
题目
如图,P是等边三角形ABC内的一点,连接PA、PB、PC,以BP为边作等边三角形BPM,连接CM.
(1)观察并猜想AP与CM之间的大小关系,并说明你的结论;
(2)若PA=PB=PC,则△PMC是______三角形;
(3)若PA:PB:PC=1:
:
,试判断△PMC的形状,并说明理由.
答案
(1)AP=CM.
∵△ABC、△BPM都是等边三角形,
∴AB=BC,BP=BM,∠ABC=∠PBM=60°.
∴∠ABP+∠PBC=∠CBM+∠PBC=60°.
∴∠ABP=∠CBM.
∴△ABP≌△CBM.
∴AP=CM.
(2)等边三角形.
(3)△PMC是直角三角形.
∵AP=CM,BP=PM,PA:PB:PC=1:
:
,
∴CM:PM:PC=1:
:
.
设CM=k,则PM=
k,PC=
k,
∴CM
2+PM
2=PC
2∴△PMC是直角三角形,∠PMC=90°.
(1)通过观察应该是相等关系,可通过证三角形APB和BMC全等来实现,这两个三角形中已知的条件有:AB=BC,BP=BM,只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论,我们发现∠ABP和∠MBC都是60°-∠PBC,因此这两个角相等,也就凑成了三角形全等的所有条件.因此可得两三角形全等,也就证明了AP=CM;
(2)根据(1)的结论AP=CM,又有三角形BPM是等边三角形,因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM,也就是说三角形PMC是等边三角形.
(3)根据AP=CM,BP=PM,我们可将题中给出的比例关系式写成CM:PM:PC=1:
:
.我们发现这三边正好符合勾股定理的要求.因此三角形PMC是直角三角形.
等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理的逆定理.
本题主要考查了全等三角形的判定,等边三角形的判定以及直角三角形的判定.通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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