已知函数f（x）＝a^（2x）＋a^x－2（a＞0且≠1）在区间[-1,1]上最大值为8,求在该区间的最小值

题目

已知函数f（x）＝a^（2x）＋a^x－2（a＞0且≠1）在区间[-1,1]上最大值为8,求在该区间的最小值

答案

解令t=a^x,
则t属于[-1,1]
则当a＞1时,t属于[1/a,a]
当0＜a＜1时,t属于[a,1/a]
故函数f（x）＝a^（2x）＋a^x－2
变为y=t^2+t-2
=（t+1/2)^2-9/4
由当a＞1时,t属于[1/a,a],
即t=a时,y有最大值a^2+a-2=8
即a^2+a-10=0
解得a=（-1+√41）/2或a=（-1-√41）/2
故a=（-1+√41）/2
由当0＜a＜1时,t属于[a,1/a],
即t=1/a时,y有最大值1/a^2+1/a-2=8
即10a^2-a-1=0
解得a=（1+√41）/20或a=（1-√41）/20
故a=（1+√41）/20
故综上知a=（-1+√41）/2或a=（1+√41）/20.