求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体用拉格朗日乘数法

题目

求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体用拉格朗日乘数法

答案

V=xyz
x^2+y^2+z^2=4a^2
F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)
所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:
yz+2λx=0
xz+2λy=0
xy+2λz=0
而:x^2+y^2+z^2=4a^2
解方程组,得:
x=y=z=(2/3)(根号3)a
最大体积=xyz=(8/9)(根号3)a^3