e^(x+y)+xy=1,求f(x)的n阶导数在x=0处的值

题目

e^(x+y)+xy=1,求f(x)的n阶导数在x=0处的值

答案

这是方程确定的函数导数问题,因
e^(x+y)+xy=1
当x=0时,y=0
方程两边对x求导,得
e^(x+y)(1+y')+y+xy'=0 (1)
将x=0,y=0代入得到 1+y'(0)=0,解得y'(0)=-1
(1)的两边继续对x求导,得到
e^(x+y)(1+y')^2+e^(x+y)y"+2y'+xy"=0
将x=0,y=0,y'(0)=-1代入得到y"(0)=2
有上面的过程,可以判断出,凡是含有(1+y')因子的项,全部为0,含有x,y的项最后也为0
因此,原方程连续对x求n次导数,得到
(1+y')g(x)+e^(x+y)y^(n)+(n-1)y^(n-1)+xh(x)=0
于是得到：y^(n)(0)=-(n-1)y^(n-1)(0) (2)
反复使用（2）得到
y^(n)(0)=(-1)^(n-1)(n-1)!y'(0)
=(-1)^n×(n-1)!