如图,点A(0,4),点B(3,0),点P为线段AB上的一个动点,作PM⊥y轴于点M,作PN⊥x轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时,MN的值最小?最小值是多少?求出此时PN的长.
题目
如图,点A(0,4),点B(3,0),点P为线段AB上的一个动点,作PM⊥y轴于点M,作PN⊥x轴于点N,连接MN,当点P运动到什么位置时,MN的值最小?最小值是多少?求出此时PN的长.
答案
如图,连接OP.
由已知可得:∠PMO=∠MON=∠ONP=90°.
∴四边形ONPM是矩形.
∴OP=MN,
在Rt△AOB中,当OP⊥AB时OP最短,即MN最小.
∵A(0,4),B(3,0),即AO=4,BO=3,
根据勾股定理可得AB=5.
∵S
△AOB=
AO•BO=
AB•OP,
∴OP=
.
∴MN=
.
即当点P运动到使OP⊥AB于点P时,MN最小,最小值为
;
在Rt△POB中,根据勾股定理可得:BP=
,
∵S
△OBP=
OP•BP=
OB•PN.
∴PN=
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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