向量,四面体体积

题目

向量,四面体体积
4面体4个顶点 分别是
a(2,-1,1)
b(5,5,4)
c(3,2,-1)
d(4,1,3)
求四面体体积,

答案

坐标系已经建立,四面体ABCD的四个顶点已经给出坐标,
A(2,-1,1)
B(5,5,4)
C(3,2,-1)
D(4,1,3),
设D为原点,向量DA、DB、DC的三向量分别为向量a,b,c,所求四面体的体积V就是V=|(a×b)·c|/6.
向量a=向量DA=(2-4,-1-1,1-3)=(-2,-2,-2),
向量b=向量DB=(5-4,5-1,4-3)=(1,4,1),
向量c=向量DC=(3-4,2-1,-1-3)=(-1,1,-4),
V=(1/6)*
|-2 -2 -2|
|1 4 1|
|-1 1 -4|
或者不用上述向量法,使用四个点的坐标值,直接使用公式求出四面体的体积V:
V=(1/6)*
|2 -1 1 1|
|5 5 4 1|
|3 2 -1 1|
|4 1 3 1|.