证明：循环群的自同构群一定是交换群

题目

证明：循环群的自同构群一定是交换群

答案

设G=为循环群,f1、f2为其自同构群中的两个元素,则必有f1(a)=a^k1,f2(a)=a^k2,
由同构的定义知f1(a^m)=a^(m*k1),f2(a^n)=a^(n*k2)
任取g∈G,则必有g=a^m,则
f1.f2(g)=f1(a^(m*k2))=a^(m*k1*k2)
=f2(a^(m*k1))=f2.f1(g),其中“.”表示复合
故f1.f2=f2.f1,从而G的自同构群为交换群