已知a、b、c为三角形ABC的三边,且c=2,b=根号2倍的a.求三角形面积的最大值.

题目

已知a、b、c为三角形ABC的三边,且c=2,b=根号2倍的a.求三角形面积的最大值.

答案

【已知】b=√2a c=2
【解析】 根据两边之和大于第三边,有：
√2a +a＞2
√2a+2＞a
a+2＞√2a
解得,2√2-2＜a＜2√2+2
∵ cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（3a²-4）/2√2a²,设a²=t （12-8√2＜t＜12+8√2）
∴sinC=√（1-cos²C）=√[（-t²+24t-16）/8t²] ❶
又∵S△ABC=1/2 absinC=√2/2 a²sinC=√2/2 tsinC=√（2t²/4）sinC
联立❶,得：S△ABC=√[（-t²+24t-16）/16]
可以看到,里面是个开口向下的二次函数
当t=12时有最大值,且符合t的范围
∴代入t=12
∴S△ABC（max）=√8=2√2 ,当且仅当t=a²=12,即a=2√3 ,b=2√6时成立