已知A、B、C是锐角，求证：cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2的充要条件是A+B+C=π．

题目

已知A、B、C是锐角，求证：cosA+cosB+cosC=1+4sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

答案

cosA+cosB+cosC=1+4sin

A

2

sin

B

2

sin

C

2

⇔2cos

A+B

2

cos

A−B

2

＝2sin2

C

2

+2sin

C

2

(−cos

A+B

2

+cos

A−B

2

)
⇔cos

A+B

2

cos

A−B

2

＝sin2

C

2

−sin

C

2

cos

A+B

2

+sin

C

2

cos

A−B

2

⇔0＝sin

C

2

(sin

C

2

−cos

A+B

2

)+(sin

C

2

−cos

A+B

2

)cos

A−B

2

⇔0＝(sin

C

2

−cos

A+B

2

)(sin

C

2

+cos

A−B

2

)
∵A、B、C是锐角，∴sin

C

2

+cos

A−B

2

＞0
所以上式⇔0＝sin

C

2

−cos

A+B

2

⇔

C

2

+

A+B

2

＝

π

2

⇔A+B+C=π