如图,三角形ABC中,点O是AC上一个动点,过点O做直线MN//BC,且交∠BCA的平分线于点E,

题目

如图,三角形ABC中,点O是AC上一个动点,过点O做直线MN//BC,且交∠BCA的平分线于点E,
交∠BCA的外角平分线于F.（1）求证：EO=FO.（2）当点O运动到何处时,四边形AECF为矩形?并证明你的结论.（3）在（2）的基础上,三角形ABC满足什么条件时,四边形AECF能成为正方形?

答案

(1)证明：∵MN∥BC
∴∠OEC=∠BCE
∵CE平分∠BCA
∴∠BCE=∠ACE
∴∠OEC=∠ACE
∴AE=EC
同理可证OF=OE
∴EO=FO
(2)当O点运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形
证明：由（1)的证明OE=OF
∵OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形
又∵CE,CF是∠ACB的内外角平分线
∴∠ECF=90º
∴四边形AECF是矩形
（3）当ΔABC中的∠ACB=90º时,四边形AECF是正方形
∵MN∥BC
∴∠AOE=∠ACB=90º
∴EF⊥AC
由（2）知四边形AECF是矩形
∴四边形AECF是正方形