证明方程x*2^x=1至少有一个小于1的正根

题目

证明方程x*2^x=1至少有一个小于1的正根

答案

证明：
设f(x)=x*2^x-1
因为：2^x>0在R上恒成立
所以：x<0时,f(x)=x*2^x-1<1恒成立
所以：f(x)在x<0时不存在零点
x>0时,x和2^x都是增函数
所以：f(x)=x*2^x-1是增函数
f(0)=0-1=-1<0
f(1)=2-1=1>0
所以：f(x)=x*2^x-1在（0,1）上存在唯一的一个零点
所以：x*2^x=1至少存在一个小于1的正根