求解一道微分方程,
题目
求解一道微分方程,
y'+y=x+3sin2x+2cosx
主要是特解的求法,最好能给出待定系数法和微分算子法~
因为这种形式的f(x)的特解不太会求啊,
我知道把方程分别看成:
左边=x
左边=3sin2x
左边=2cosx
然后分别求出三个方程的特解相加
可是,书上介绍的微分算子法我总是记不住代换,也搞不大清楚,但是如果分别用特解形式求导带入(待定系数法)的话,有时候会化的非常复杂,有没有稍简便实用的方法呢?
无限感激!
答案
首先,齐次方程y'+y=0的特征方程是r^2+1=0,得r=±i,所以通解是y=C1×sinx+C2×cosx.
其次,求非齐次方程的一个特
很显然,y'+y=x有一个特解Y1=x.
2i不是特征方程的根,所以y'+y=3sin2x的一个特解设为Y2=k×sin2x,代入得k=-1,所以Y2=-sin2x
i是特征方程的单根,所以设y'+y=2cosx的一个特解为Y3=x[asinx+bcosx],代入得a=1,b=0,所以Y3=xsinx
所以,非齐次方程的一个特解Y=Y1+Y2+Y3=x-sin2x+xsinx,通解是y=x-sin2x+xsinx+C1×sinx+C2×cosx.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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