已知:二次函数 y=x2-2(m-1)+m2-2m-3,其中m为实数

题目

已知:二次函数 y=x2-2(m-1)+m2-2m-3,其中m为实数
1.求证:无论m为何值时,这个二次函数的图像与x轴必定有两个交点
2.设这个二次函数的图像与x轴交与点A(m,0) B(n,0),且m,n的倒数之和是三分之二,求这个二次函数的解析式

答案

y=x^2-2(m-1)x+m2-2m-3
1.
证明：
△=[-2(m-1)]^2 - 4×1×(m^2-2m-3)
= 16 > 0 恒成立
所以：无论m为何值时,这个二次函数的图像与x轴必定有两个交点
2.
记A(x1,0)、B(x2,0),
韦达定理：x1+x2 = 2(m-1)；x1x2 = m^2-2m-3
1/x1+1/x2 = (x1+x2)/x1x2 = 2(m-1)/(m^2-2m-3) = 2/3
m = 0或5
y=x^2+2x-3或y=x^2-8x+12