已知3阶实对称矩阵A的各行元素之和为4,向量a（-4,2,2）^T是齐次线性方程组Ax=0的解,

题目

已知3阶实对称矩阵A的各行元素之和为4,向量a（-4,2,2）^T是齐次线性方程组Ax=0的解,
且矩阵A的对角元素之和为-1,则（1）矩阵A的特征值为?
（2）属于特征值的特征向量分别为?
(3)矩阵A等于?

答案

因为 A的各行元素之和为4
所以 A(1,1,1)^T = (4,4,4)^T = 4(1,1,1)^T
所以 a1=(1,1,1)^T 是A的属于特征值 4 的特征向量.
因为 a2=(-4,2,2)^T是齐次线性方程组Ax=0的解
所以 a2=(-4,2,2)^T是A的属于特征值 0 的特征向量.
因为 矩阵A的对角元素之和为-1
所以 4 + 0 + λ3 = -1
所以 λ3 = -5
所以 A 的特征值为 4,0,-5
由于属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交
所以属于特征值λ3的特征向量 (x1,x2,x3)^T 满足
x1+x2+x3=0
-4x1+2x2+2x3=0
解得基础解系 a3=(0,1,-1)^T 为A的属于特征值-5的特征向量
令 P = (a1,a2,a3) =
1 -4 0
1 2 1
1 2 -1
则 P^-1AP = diag(4,0,-5)
所以 A = Pdiag(4,0,-5)P^-1 =
4/3 4/3 4/3
4/3 -7/6 23/6
4/3 23/6 -7/6