一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多容纳32人,而且只能在第2层至第33层中某一层停一次,对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意

一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多容纳32人,而且只能在第2层至第33层中某一层停一次,对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意

题目
一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层,它一次最多容纳32人,而且只能在第2层至第33层中某一层停一次,对于每个人来说,他往下走一层楼梯感到1分不满意,往上走一层楼梯感到3分不满意,现在有32个人在第一层,并且他们分别住在第2至第33层的每-层,问:电梯停在哪一层时,可以使得这32个人不满意的总分达到最小?最小值是多少?(有些人可以不乘电梯即直接从楼梯上楼).
答案
由题意易知,这32个人恰好是第2层至第33层各住1人,对于每个乘电梯上、下楼的人,他所住的层数一定不小于直接上楼的人所住的层数.事实上,设住s层的人乘电梯,而住在t层的人直接上楼,s<t,交换两人的上楼方式,其余的人不变,则不满意的总分减少.
设电梯停在第x层,在第1层有y人没有乘电梯即直接上楼,那么不满意的总分为:
s=3[1+2+3+…+(33-x)]+3(1+2+…+y)+[1+2+…+(x-y-2)],
=
3×(33−x)(34−x)
2
+
3y(y+1)
2
+
(x−y−2)(x−y−1)
2

=2x2-(y+102)x+2y2+3y+1684,
=2(x-
y+102
4
2+
1
8
(15y2-180y+3068),
=2(x-
y+102
4
2+
15
8
(y-6)2+316≥316.
又当x=27,y=6时,s=316,
故当电梯停在第27层时,不满意的总分最小,最小值为316.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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