如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE． 证明：AE=AF．

题目

如图，自△ABC内的任一点P，作三角形三条边的垂线：PD⊥BC，PE⊥CA，PF⊥AB，若BD=BF，CD=CE．
证明：AE=AF．

答案

证明：
如图，若四边形的两条对角线互相垂直，则其两组对边的平方和相等．
连PA，PB，PC，
则有PA²+BF²=PB²+AF²；
PB²+CD²=PC²+BD²，
PC²+AE²=PA²+CE²；
三式相加得AE²+CD²+BF²=AF²+CE²+BD²，
利用条件BD=BF，CD=CE，
代入上式，得AE=AF．