复合函数的求导中

题目

复合函数的求导中
y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)
为什么是f'[g(x)]乘以g'(x)
而不是加或减或除?

答案

很简单吧``
y'=f'[g(x)]*g'(x)
这个式子是y对x求导
在这里,可以令 y=f(u),u=g(x).则y=f[g(x)],对吧?
那么有,dy/dx=dy/du * du/dx (这就是y'=f'[g(x)]*g'(x)的等价写法)
这里的dy/dx是y对x求导,等价于y'
dy/du(等价于f'[g(x)])是y对u求导,
du/dx(等价于g'(x))是u对x求导,
从中可以看出,u起到了中间变量的作用,你可以观察发现那个 du 在分子分母当中都有,可以约去,u只是起过渡的作用,所以那个符号只能是乘号,才能得到y对x求导的正确结果.
如果是加号,dy/du+du/dx这个式子不是y对x求导,而是y对u求导的结果加上u对x求导的结果.
如果是减号,dy/du-du/dx这个式子也不是y对x求导
如果是除号,那么就成了dy/du / du/dx也就等于dy*dx/du*du,也不是y对x求导