已知等比数列{an}的各项都是正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中,最大的项为54,求n的值.

已知等比数列{an}的各项都是正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中,最大的项为54,求n的值.

题目
已知等比数列{an}的各项都是正数,Sn=80,S2n=6560,且在前n项中,最大的项为54,求n的值.
答案
由已知an>0,得q>0,若q=1,则有Sn=na1=80,S2n=2na1=160与S2n=6560矛盾,故q≠1.
a1(1−qn)
1−q
=80     (1) 
a1(1−q2n)
1−q
=6560  (2)
,由(2)÷(1)得qn=81(3).
∴q>1,此数列为一递增数列,在前n项中,最大一项是an,即an=54.
又an=a1qn-1=
a1
q
qn=54,且qn=81,∴a1=
54
81
q.即a1=
2
3
q.
将a1=
2
3
q代入(1)得
2
3
q(1-qn)=80(1-q),即
2
3
q(1-81)=80(1-q),解得q=3.又qn=81,∴n=4.
先根据Sn和S2n的值判断q≠1,再利用求和公式根据Sn和S2n的值求出qn=81进而推断q>1,断定数列为递增数列,即最大一项是an,进而求出a1和q的关系式代入Sn=80即可求出n.

等比数列的前n项和.

本题主要考查等比数列的通项公式和求和公式的应用.解题的关键是通过q判断数列是递增还是递减,还是先增后减或先减后增.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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