设A是n（n>=2)阶方阵且A的全部元素都是1,E是n阶单位矩阵,证明（E-A)^-1=E-1/(n+1)*A

题目

设A是n（n>=2)阶方阵且A的全部元素都是1,E是n阶单位矩阵,证明（E-A)^-1=E-1/(n+1)*A

答案

证明: 因为 A的全部元素都是1
所以 A^2 = nA.
所以 (E-A) [ E-1/(n-1)A ]
= E-1/(n-1)A - A + 1/(n-1)A^2
= E-1/(n-1)A - A + n/(n-1)A
= E.
所以 E-A 可逆, 且 (E-A)^-1 = E-1/(n-1)A.
原题有误. 看看已知中 n>=2, n-1 才靠谱哈.
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