求所有正整数a,b,c,使得关于x的方程x^2-2ax+b=0,x^2-2bx+c=0,x^2-2cx+a=0的所有根均为正整数

题目

求所有正整数a,b,c,使得关于x的方程x^2-2ax+b=0,x^2-2bx+c=0,x^2-2cx+a=0的所有根均为正整数

答案

令x1~x6分别为三个方程的根,则有：
x1+x2=2a,x1x2=b
x3+x4=2b,x3x4=c
x5+x6=2c,x5x6=a
相加得：x1+x2+x3+x4+x5+x6=2(a+b+c)=2(x1x2+x3x4+x5x6)
即可化为：(x1-1/2)(x2-1/2)+(x3-1/2)(x4-1/2)+(x5-1/2)(x6-1/2)=3/4
因为xi>=1,等式左边每一项都不小于1/4,要使等式成立,只有：xi=1,
因此有a=b=c=1