在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin(θ−π4)＝22． （1）求圆O和直线l的直角坐标方程； （2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

题目

在极坐标系下，已知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线l：ρsin(θ−

π

4

)＝

2

2

．
（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；
（2）当θ∈（0，π）时，求直线l与圆O公共点的极坐标．

答案

（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，
故圆O 的直角坐标方程为：x²+y²=x+y，即x²+y²-x-y=0．
直线l：ρsin(θ−

π

4

)＝

2

2

，即ρsinθ-ρcosθ=1，则直线的直角坐标方程为：y-x=1，即x-y+1=0．
（2）由

x2+y 2−x−y＝0 x−y+1＝0

，可得 

x＝0 y＝1

，直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，

π

2

)．

（1）圆O的方程即ρ²=ρcosθ+ρsinθ，可得圆O 的直角坐标方程为：x²+y²=x+y，即x²+y²-x-y=0．
（2）由

x2+y 2−x−y＝0 x−y+1＝0

，可得直线l与圆O公共点的直角坐标为（0，1），由此求得线l与圆O公共点的极坐标．

本题考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，属于基础题．