设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,若a5=9,求Sn/an的最小值?

题目

设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,若a5=9,求Sn/an的最小值?

答案

设公差为d
则S2²=(a1+a2)²=(2a1+d)²=4a1²+4a1*d+d²
S1*S4=a1*(a1+a2+a3+a4)=a1*(4a1+6d)=4a1²+6a1*d
于是4a1²+4a1*d+d²=4a1²+6a1*d
d≠0
所以d=2a1 (1)
已知a5=a1+4d=9 (2)
(1)代入(2) a1=1
所以d=2
所以an=1+2(n-1)=2n-1
Sn=(1+2n-1)*n/2=n²
故Sn/n=n²/(2n-1)=(1/4)[2n+1+1/(2n-1)]
=(1/4)[(2n-1)+1/(2n-1)+2]
≥(1/4)*[2√(2n-1)*1/(2n-1)+2]
=1
当且仅当2n-1=1/(2n-1),即n=1时等号成立
所以最小值为1