如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上． （Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．

题目

如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．

（Ⅰ）证明：AP⊥BC；
（Ⅱ）已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．求二面角B-AP-C的大小．

答案

（I）由题意画出图如下：
由AB=AC，D为BC的中点，得AD⊥BC，
又PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，得到PO⊥BC，
∵PO∩AD=O∴BC⊥平面PAD，故BC⊥PA．
（II）如图，在平面PAB中作BM⊥PA于M，连接CM，
∵BC⊥PA，∴PA⊥平面BMC，∴AP⊥CM，故∠BMC为二面角B-AP-C的平面角，
在直角三角形ADB中，AB2=AD2+BD2=41 得：AB=

41

；
在直角三角形POD中，PD²=PO²+OD²，在直角三角形PDB中，PB²=PD²+BD²，∴PB²=PO²+OD²+BD²=36，得PB=6，
在直角三角形POA中，PA²=AO²+OP²=25，得PA=5，
又cos∠BPA=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

1

3

，从而sin∠BPA=

2 2

3

．
故BM=PBsin∠BPA=4

2

．同理：CM=4

2

，
∵BM²+MC²=BC²，∴二面角B-AP-C的大小为90°．

（I）由题意．因为PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上所以BC⊥PO．有AB=AC，D为BC的中点，得到BC⊥AD，进而得到线面垂直，即可得到所证；
（II）有（I）利用面面垂直的判定得到PA⊥平面BMC，再利用二面角的定义得到二面角的平面角，然后求出即可．

本题考点：["与二面角有关的立体几何综合题","空间中直线与直线之间的位置关系","二面角的平面角及求法"]

考点点评：（I）此问考查了线面垂直的判定定理，还考查了线面垂直的性质定理；
（II）此问考查了面面垂直的判定定理，二面角的平面角的定义，还考查了在三角形中求解．