以知圆的半径为2,以圆的玄AB为直径做圆M,C点是圆O优弧AB上的一个动点,连接AC,BC分别与圆M交于点D,点E,

题目

以知圆的半径为2,以圆的玄AB为直径做圆M,C点是圆O优弧AB上的一个动点,连接AC,BC分别与圆M交于点D,点E,
1.求角C到度数.2.求DE的长.3如果tan角ABC=Y,AD比上DC=X,用含X到代数式表示Y.

答案

（1）如图：连接OB、OM．
则在Rt△OMB中,∵OB=2,MB= 3,∴OM=1．
∵OM= 12OB,∴∠OBM=30°．
∴∠MOB=60°．
连接OA．则∠AOB=120°．
∴∠C= 12∠AOB=60°．
（2）在△CDE和△CBA中,
∵∠CDE=∠CBA,∠ECD=∠ACB,
∴△CDE∽△CBA,∴ DEAB=DCBC．
连接BD,则∠BDC=∠ADB=90°．
在Rt△BCD中,∵∠BCD=60°,∴∠CBD=30°．∴BC=2DC．
∴ DCBC=12.即 DEAB=12.
∴DE= 12AB= 12×2 3= 3．
（3）连接AE．
∵AB是⊙M的直径,∴∠AEB=∠AEC=90°．
由 ADDC=x,可得AD=x•DC,AC=AD+DC=（x+1）•DC．
在Rt△ACE中,∵cos∠ACE= CEAC,sin∠ACE= AEAC,
∴CE=AC•cos∠ACE=（x+1）•DC•cos60°= 12(x+1)•DC；
AE=AC•sin∠ACE=（x+1）•DC•sin60°= 32(x+1)•DC.
又由（2）,知BC=2DC．
∴BE=BC-CE= 2DC-12(x+1)•DC=12(3-x)•DC.
在Rt△ABE中,tan∠ABC= AEBE=32(x+1)•DC12(3-x)•DC=3(x+1)3-x,
∴ y=3(x+1)3-x（0＜x＜3）．