设函数f满足以下条件：（1） f(x+y)= f(xy),对一切x,y属于R;(2) f(x)=1+xg(x),而limg(x)=1,试证明 f(x)

题目

设函数f满足以下条件：（1） f(x+y)= f(xy),对一切x,y属于R;(2) f(x)=1+xg(x),而limg(x)=1,试证明 f(x)
在R上处处可导,且f'（x)=f(x)

答案

f(x)=f(x+0)=f(x*0)=f(0),f(x)在R上处处可导,且f'(x)=[f(0)]' = 0.
1+xg(x)=f(x)=f(0).
lim_{x->-1}[1+xg(x)]=1-1=0=lim_{x->-1}[f(x)]=f(0)
所以,
f'(x)=0=f(0)=f(x)