在三角形ABC中,角A为顶角,角B小于角C,三个角的平分线交于点O,OE垂直BC于E,求证：角BOD=角COE

题目

在三角形ABC中,角A为顶角,角B小于角C,三个角的平分线交于点O,OE垂直BC于E,求证：角BOD=角COE
角A平分线AD交BC于D，角B平分线BF交AC于F，角C平分线CG交AB于G！

答案

∵∠BCG＝∠ACB/2,∠OEC＝90°,
∴∠COE＝90°－∠BCG＝90°－（180°－∠BAC－∠ABC）/2＝（∠BAC＋∠ABC）/2.
根据三角形外角定理,有：
∠BOD＝∠ABF＋∠BAD,而∠ABF＝∠ABC/2,∠BAD＝∠BAC/2,
∴∠BOD＝∠ABC/2＋∠BAC/2＝（∠BAC＋∠ABC）/2.
比较：∠COE＝（∠BAC＋∠ABC）/2,∠BOD＝（∠BAC＋∠ABC）/2,得：∠BOD=∠COE.