方程如下

题目

方程如下
y=(dy/dx)*x+4+(dy/dx)^2
不好意思可能是百度自动转换出错了，题目用中文叙述是
（y对x微分后）乘以x，再加上4倍的（y对x微分的二次方）
ps:我发了很多数学题，我想知道大家遇到各类题目时候的思考过程和顺序，比如见到这类题第一步怎么想，怎么考虑，为什么这么考虑，能大概讲解一下思路那麽我想比单纯给个答案要好，授人以鱼不如授人以渔，我想这样也会方便其他很多看帖子的朋友们。
补充二：
这道题目昨天我用一种方法做能做出来个结果，可是感觉有问题，方法如下
两边对x微分，得y'=y"x+y'+8y'y"约掉y'得 y"(x+8y')=0
得y"=0或者x+8y'=0
y"=0解得y=Cx+C1(C和C1均为常数)
x+8y'=0解得y=-x^2/16 + C(C为常数)，可是这个解再代入方程验证不成立啊。
总感觉怪怪的

答案

LZ这道题精辟啊...微分以后再平方...从来没见过
我只能通过分析得出一个简单解
其他有没有解,是什么解,就想不清楚了
收藏了,LZ知道确切答案以后,一定要打出来啊
首先任意一个函数必定是有若干个初等函数通过和差乘除组合而成的
先不考虑分式函数
假如原函数中含有e^x,lnx,logx,a^x,sinx,cosx,tanx
那么微分后再平方,肯定会产生原函数所没有的项
所以原函数应只含有x^n项
等号左边为n次,右边为n+（n-1）^2次
得n=1
设y=kx+b,代入方程得b=4k^2
所以原函数为y=kx+4k^2
但若原函数为一个复杂的分式函数,我就不清楚了
虽然我认为解只有上述的这个简单解
但我也无法证明不存在一个复杂的分式函数解