数学函数填空题!

题目

数学函数填空题!
已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点（-3/4,0）对称,且满足f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)的值为_______.

答案

因为f(x)=-f(x+3/2),所以f(x+3/2）=-f(x+3/2+3/2)=-f(x+3)
所以f(x)=-f(x+3/2)
=f(x+3) 即f(x)是周期为3的函数
f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2006)
=666(f(1)+f(2)+f(3))+f(1)+f(2)
借着计算,关于点（-3/4,0）对称,所以f(x)=-f(-3/2-x)
因为f(x)=-f(x+3/2),所以)-f(-3/2-x)=-f(x+3/2） 即f(-3/2-x)=f(x+3/2）
所以f(x)是偶函数
f(1)=f(-1)=1
f(-1)=-f(-1+3/2)=-f(1/2) 所以f(1/2)=-1
因为f(x)=-f(-3/2-x)所以 f(-2)=-f(-3/2+2)=-f(1/2)=1
所以 f(2)=1
周期函数 所以f(3)=f(0)=-2
所以原式=666*(1+1-2)+1+1
=2