马上要,已知a,b属于R正,且a+b=1.求证:根号下(a+1/2)+根号下(b+1/2)小于等于2

题目

马上要,已知a,b属于R正,且a+b=1.求证:根号下(a+1/2)+根号下(b+1/2)小于等于2

答案

忘记数学证明的书写格式了,提供求解思路如下,X^Y表示X的Y次方,X^(1/2)表示根号下X
1.问题等同于“左侧^2≤4”,展开即为
(a+1/2)+(b+1/2)+2*((a+1/2)*(b+1/2))^(1/2)≤4
又等同于
a+b+1/2+1/2+2*((a+1/2)*(b+1/2))^(1/2)≤4
根据条件“a+b=1”,约简后,等同于
((a+1/2)*(b+1/2))^(1/2)≤1
两侧平方,等同于
(a+1/2)*(b+1/2)≤1
2.展开左侧,即为
a*b+(a+b)/2+1/4≤1
约简,等同于
4*a*b≤1
还等同于
-4*a*b≥-1
两侧都加上(a+b)^2,变形为
(a+b)^-4*a*b≥(a+b)^2-1
展开左侧、约简右侧,等同于
a^2+b^2-2*a*b≥0
组合左侧,即
(a-b)^2≥0
显然,问题得解