设a≥0，f（x）=x-1-ln2x+2alnx（x＞0）． （Ⅰ）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln2x-2alnx+1．

题目

设a≥0，f（x）=x-1-ln²x+2alnx（x＞0）．
（Ⅰ）令F（x）=xf′（x），讨论F（x）在（0，+∞）内的单调性并求极值；
（Ⅱ）求证：当x＞1时，恒有x＞ln²x-2alnx+1．

答案

（Ⅰ）根据求导法则有f′(x)＝1−2lnxx+2ax，x＞0，故F（x）=xf'（x）=x-2lnx+2a，x＞0，于是F′(x)＝1−2x＝x−2x，x＞0，∴知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x=2处取得极小值F（2）...

（1）先根据求导法求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间及极值即可．
（2）欲证x＞ln²x-2a ln x+1，即证x-1-ln²x+2alnx＞0，也就是要证f（x）＞f（1），根据第一问的单调性即可证得．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查学生综合运用导数知识分析问题、解决问题的能力，本小题主要考查函数的导数，单调性，不等式等基础知识．