Rt三角形ABC中,AC=BC,在AB边上有E`F两点使∠ECF=45度,证AE^+BF^=EF^

题目

Rt三角形ABC中,AC=BC,在AB边上有E`F两点使∠ECF=45度,证AE^+BF^=EF^

答案

依题意知△ACB是等腰直角三角形,CB=CA,以CB为边向△ACB外部作△CBE'≌△CAE,连接FE'那么CE'=CE,∠FCE'=∠FCB+∠BCE'=∠FCB+∠ACE=90°-∠FCE=90°-45°=45°=∠FCE,所以△FCE'≌△FCE,FE'=FE.
在△FBE'中,∠FBE'=∠FBC+∠CBE'=∠FBC+∠CAE=90°,还有BE'=AE,直角△FBE'三边符合BE'²+BF²=FE²,就是AE²+BF²=EF².