已知向量a1,a2,a3为方程组AX=0向量的基础解系,试证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系

题目

已知向量a1,a2,a3为方程组AX=0向量的基础解系,试证明a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系

答案

a1为方程组AX=0向量的解
说明A*a1＝0
同理A*a2＝A*a3＝0
所以A*(a1+a2)＝A*a1+A*a2＝0
所以a1+a2也为该方程组的解
同理a2+a3和a1+a3也为该方程组的解
但是并不是随便3个解都能组成基础解系,还要满足线性无关
我们已经知道矩阵（a1,a2,a3）是无关的,那么
（a1+a2,a2+a3,a3+a1）
＝（a1,a2,a3）*
｜ 1 0 1 |
｜ 1 1 0 |
｜ 0 1 1 |
后面的矩阵不等于0,所以矩阵（a1+a2,a2+a3,a3+a1）也无关
所以a1+a2,a2+a3,a3+a1也为该方程组的基础解系