曲线Y=2的X次方关于直线X-Y+1=0对称的曲线方程

题目

曲线Y=2的X次方关于直线X-Y+1=0对称的曲线方程
正确答案是2^y=2x=2

答案

设所求曲线上任一点为P(x,y)其对称点为Q(x’,y’),则
PQ的中点为M((x+x’)/2,(y+y’)/2),因为对称,所以M在直线X-Y+1=0上,所以
[(x+x’)/2]-[(y+y’)/2]+1=0,化简得
(x+x’)-(y+y’)+2=0 …………①
PQ连线的斜率为(y-y’)/(x-x’),因为轴对称,所以直线PQ与直线X-Y+1=0垂直,即二者斜率乘积为-1,即
[(y-y’)/(x-x’)]*1= -1,化简得
(x-x’)+(y-y’)=0 …………②
①②联立,以x’、y’为未知数,解得
x’=y-1
y’=x+1
因为点Q(x’,y’)在曲线Y=2^X上,将Q的坐标代入Y=2^X得
x+1=2^(y-1),化简即得所求的曲线方程：
y=1+log(x+1) 尖括号内的数是底数.
也可写成2^y=2x+2