已知三个正实数x y z,且x+y+z=1,证明(x^2+y^2+z^2)(z/(x+y)+x/(y+z)+y/(z+x))>=1/2
题目
已知三个正实数x y z,且x+y+z=1,证明(x^2+y^2+z^2)(z/(x+y)+x/(y+z)+y/(z+x))>=1/2
答案
x²+y²+z²≥xy+yz+zx=1/2[x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)]
所以(x^2+y^2+z^2)(z/(x+y)+x/(y+z)+y/(z+x))≥1/2[x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)](z/(x+y)+x/(y+z)+y/(z+x))≥1/2(x+y+z)²=1/2
证毕
注:x²+y²+z²≥xy+yz+zx这一步应该懂吧
1/2[x(y+z)+y(x+z)+z(x+y)](z/(x+y)+x/(y+z)+y/(z+x))≥1/2(x+y+z)²这一步用的是柯西不等式.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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