曲线xy=1,过C上一点An(xn,yn),做斜率Kn=-1/(Xn+2)的直线交曲线于另一点Ax+1(Xn+1,Yn＋1)

题目

曲线xy=1,过C上一点An(xn,yn),做斜率Kn=-1/(Xn+2)的直线交曲线于另一点Ax+1(Xn+1,Yn＋1)
曲线C:xy=1,过C上一点An(xn,yn),做斜率Kn=-1/(Xn+2)的直线交曲线C于另一点Ax+1(Xn+1,Yn＋1),点列An（n=1,2,3.）的横坐标构成数列{Xn},其中X1＝11/7.
(1)求Xn与X（n+1)的关系式.
（2）求证：数列{1/Xn-2＋1/3}是等比数列.
（3）求证：（－1）X1+（－1)^2X2+（－1）^3X3+.+（-1）^nXn

答案

1：过C上一点An(Xn,Yn)
作斜率为Kn=-1/(Xn+2)的直线方程为：
y=-1/(Xn+2) *（x-Xn)+ 1/Xn ,
与xy=1 联立得1/X=-1/(Xn+2) *（X-Xn）+1/Xn
解得X=(Xn+2)/Xn
2:利用不动点f(x)=(x+2)/x=x
解得x1=-1,x2=2
∴(X(n+1)-2)/(X(n+1)+1)=-1/2*(X(n)-2)/(X(n)+1)
∴(X(n)-2)/(X(n)+1)=(-1/2)^(n-1)*(X1-2)/(X1+1)
=(-1/2)^(n-1)*(-1/6）
∴整理得X(n)=3/(1+1/6*(-1/2)^(n-1)）-1
当n=1时,X（1)=11/7符合
∴X(n)=3/(1+1/6*(-1/2)^(n-1)）-1
an=f(Xn)=1/(Xn-2)=-1/3/(1+1/6*(-1/2)^(n-1)）-1-2
=（1+1/6*（1/2)^(n-1)）(-1/2)^n