一道导数的数学题,设函数y=y(x),由方程ylny-x+y=0确定,试判断y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.

题目

一道导数的数学题,设函数y=y(x),由方程ylny-x+y=0确定,试判断y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性.
我知道y的一阶导数,可是求y的二阶导数却求错了,其中有哪些需要注意的地方.

答案

ylny应该看成复合函数
一阶：y'lny+y*1/y * y' -1+y'=0
所以 y'=1/(2+lny)=y/(y+x)
二阶：y''=-1/(2+lny)^2 * (2+lny)'
=-y'/[y(2+lny)^2]
=-(y')^3/y
y'(1)=1/2>0 为增函数
y''(1)=-1/8