已知函数f(x)=log0.5 (1-1/2^x),证明函数f(x)的图象关于直线y=x对称

题目

已知函数f(x)=log0.5 (1-1/2^x),证明函数f(x)的图象关于直线y=x对称
1/2^x 就是 2的x次方 分之1
0.5是底数
1-1/2^x是对数

答案

证明:
取该函数图象上一点P1(X0,Y0),可得:
y0=log0.5 (1-1/2^x0).(1)
设点P2(X1,Y1)是与(X0,Y0)关于直线y=x对称的点,只需要证到P2也在所给的函数图象上就可以了.
由于P1,P2关于直线y=x对称,所以:
P1,P2的中点在y=x上,即:
(X0+X1)/2=(Y1+Y2)/2.(2)
直线P1P2的斜率为-1,即:
(Y1-Y0)/(X1-X0)=-1.(3)
由(2)和(3)可以得到:
X1=Y0,Y1=X0.(4)
将(1)和(4)带入所给函数中,得到:
Y1=log0.5 (1-1/2^X1)
=log0.5 (1-1/2^Y0)
=log0.5 (1-1/2^)log0.5 (1-1/2^X0)
=X0.(5)
对比(4)和(5)就可以得出结论.