任一实对称阵必合同于一个对角矩阵,任一实对称阵都可以相似对角化为对角矩阵,这两个矩阵是同一个吗?

题目

任一实对称阵必合同于一个对角矩阵,任一实对称阵都可以相似对角化为对角矩阵,这两个矩阵是同一个吗?

答案

一般来讲肯定是不对的,楼上提到的次序问题仅仅是一个小问题.
合同对角化之后的对角阵有很大的变动余地,但是相似对角化得到的对角阵在相差一个排列的意义下唯一,比如非零对角阵A和2A一定合同,但是特征值就不一样了,肯定不相似.或者这样讲,实对称矩阵相似则必定合同,但是反过来不对.
既然你问到这样的问题了,你还应该要知道一个重要的结论——谱分解定理：任何实对称矩阵都正交相似于对角阵.
正交相似变换既是相似变换也是合同变换,所以谱分解定理可以把相似和合同联系起来.