数列证明：1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)+n/(2n+2)

题目

数列证明：1+1/2+1/3+……+1/n>ln(n+1)+n/(2n+2)
把不等号右边看成数列的和Sn=a1+a2+……+an.然后用逐项比较法,就是1/n>an.然后构造函数,我在构造函数上遇到困难,请老师指点.

答案

这个是针对高中水平童鞋的答案,大学童鞋的话,这就太简单了,自己动手就很简单了

记左边Fn,右边Gn,F1=1＞G1=ln2+1/4≈0.693+0.25 ①

Fn+1 -Fn=1/（n+1）,Gn+1 -Gn=ln(1+1/(n+1))+0.5*[1/(n+1)-1/(n+2)]

令δ=(Fn+1 -Fn)-(Gn+1 -Gn)=0.5(1/(n+1)+1/(n+2))-ln(1+1/(n+1))

又令x=1/(n+1）则δ=0.5（x+x/(1+x)）-ln(1+x) 由于n≥1,0＜x≤0.5,2/3≤1/(1+x)＜1
对δ求导δ‘=0.5（1+1/(1+x)²）-1/(1+x)
=0.5[1-1/(1+x)]²＞0
所以Fn+1 -Fn＞Gn+1 -Gn对于任意n成立 ②

由①②可知Fn+1=F1+∑（Fk+1 -Fk）＞G1+∑（Gk+1 -Gk）=Gn+1
此即原不等式
证明完毕