已知abc都是素数x=b+c-a y=c+a-b z=a+b-c当z*z=y √x-√y=2时 abc能否构成三角形三边长

题目

已知abc都是素数x=b+c-a y=c+a-b z=a+b-c当z*z=y √x-√y=2时 abc能否构成三角形三边长

答案

由题得
z + y = 2a,又 z^2 = y,代入有
z^2 + z - 2a = 0
判别式= 1 + 8a,故由求根公式有
z=(-1+-根号下（1+8a）)/2又a,b,c为素数,z为整数,所以
根号下(1+8a)为奇数,设为2k+1=根号下(1+8a),即(2k+1)^2 = 1 + 8a,展开有
4k^2 + 4k = 8a,k(k+1) = 2a,又a为素数,所以2a的分解只可能有1*2a,2*a这两种,当1*2a时,所以2a=2(a=1,非素数,舍去)当2*a时,k=2,2a=6,a=3(符合要求）确定a=3后,代入得出z=-3或z=2；
如果z=-3:
那么y=9,√x-√y=2 ,x=(2+√y)^2=25,2b=x+z=22,b=11,c=a+b-z=17即a=3,b=11,c=17.c-b=6>3=a,所以当z=-3时,不能构成三角形.
如果z=2：
那么y=4,x=(2+2)^2=16,2b=x+z=18,b=9,非素数,舍去；
所以,不能构成三角形.