向量旋转公式:

题目

向量旋转公式:

答案

在二维坐标系中,一个位置向量的旋转公式可以由三角函数的几何意义推出.


比如上图所示是位置向量R逆时针旋转角度B前后的情况.
      在左图中,我们有关系：
　　x0 = |R| * cosA       =>          cosA = x0 / |R|
　　y0 = |R| * sinA        =>          sinA = y0 / |R|
  　在右图中,我们有关系：
　　x1 = |R| * cos（A+B）
　　y1 = |R| * sin（A+B）
　　其中（x1,y1）就是（x0,y0）旋转角B后得到的点,也就是位置向量R最后指向的点.我们展开cos（A+B）和sin（A+B）,得到：
　　x1 = |R| * （cosAcosB - sinAsinB）
　　y1 = |R| * （sinAcosB + cosAsinB）
　　现在把  cosA = x0 / |R| 和 sinA = y0 / |R|  代入上面的式子,得到：
　　x1 = |R| * （x0 * cosB / |R| - y0 * sinB / |R|） =>  x1 = x0 * cosB - y0 * sinB
　　y1 = |R| * （y0 * cosB / |R| + x0 * sinB / |R|） =>  y1 = x0 * sinB + y0 * cosB
　　这样我们就得到了二维坐标下向量围绕圆点的逆时针旋转公式.顺时针旋转就把角度变为负：
　　x1 = x0 * cos（-B） - y0 * sin（-B） =>  x1 = x0 * cosB + y0 * sinB
　　y1 = x0 * sin（-B） + y0 * cos（-B）=>  y1 = -x0 * sinB + y0 * cosB
　　现在我要把这个旋转公式写成矩阵的形式,有一个概念我简单提一下,平面或空间里的每个线性变换（这里就是旋转变换）都对应一个矩阵,叫做变换矩阵.对一个点实施线性变换就是通过乘上该线性变换的矩阵完成的.好了,打住,不然就跑题了.
所以二维旋转变换矩阵就是：
                                           [cosA  sinA]          [cosA -sinA]
                                           [-sinA cosA] 或者  [sinA cosA]

　　我们对向量进行旋转变换可以通过矩阵完成,比如我要向量（x,y）绕原点逆时针旋转角度A：
                      [x,y] x  [cosA  sinA]     = [x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]       

                                  [-sinA cosA]

      旋转后的向量为：[x*cosA-y*sinA  x*sinA+y*cosA]