已知数列{an}的前项和为Sn，点（an+2，Sn+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令bn=an+1-2an，且a1=1． （1）求证数列{bn}是等比数列； （2）求数列{nbn}的前n项和T

题目

已知数列{a_n}的前项和为S_n，点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上，其中n∈N，令b_n=a_n+1-2a_n，且a₁=1．
（1）求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

答案

（1）因为点（a_n+2，S_n+1）在直线y=4x-5上；
∴S_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3；  ①
s₂=4a₁+3=a₁+a₂⇒a₂=6；
∴S_n=4a_n-1+3；②
∴①-②：a_n+1=4a_n-4a_n-1；
∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）；
数列{a_n-2a_n-1}是以2为首相，2为公比的等比数列；
即数列{b_n}是等比数列；
所以：b_n=a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹；
（2）∵nb_n=n•2ⁿ⁺¹；
∴T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹；③
∴2T_n=1×2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²；④
③-④：-T_n=1×2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=

22(1−2n)

1−2

-n•2ⁿ⁺²=4+（1-n）•2ⁿ⁺²；
∴Tn＝4+(n−1)•2n+2．