定积分∫(0到t)f(x)g(t-x)dx关于t求导~

题目

定积分∫(0到t)f(x)g(t-x)dx关于t求导~
一个定积分∫(0到t)f(x)g(t-x)dx关于t求导
最后答案是f(t)g(0)-∫(0到t)f(x)g'(t-x)dx
推了很久了.
一直在纠结将t和0带入积分原函数均会出现含t的函数.
纠正下答案是f(t)g(0)+∫(0到t)f(x)g'(t-x)dx

答案

用含参变量积分求导的莱布尼茨法则吧,
d{∫[a(x)->b(x)] f(x,y)dy}/dx=∫[a(x)->b(x)] (∂f/∂x)dy+f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)
这个公式在同济大学高等数学下册,重积分,含参变量的积分,定理5