周期为2π的函数f(x)为____函数时,其傅里叶基数是正弦级数.

题目

周期为2π的函数f(x)为____函数时,其傅里叶基数是正弦级数.

答案

周期为2π的函数f(x)为奇函数时,其傅里叶基数是正弦级数.
an=1/L∫(-L~L)f(x)cos(nπx/L)dx (n=0,1,2...)
bn=1/L∫(-L~L)f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,3...)
当f（x）是奇函数的时候f(x)cos(nπx/L)是奇函数,而且它的定义域关于y轴对称,所以此时an=0,f(x)sin(nπx/L)此时为偶函数
bn=1/L∫(-L~L)f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,3...)
=2/L∫(0~L)f(x)sin(nπx/L)dx (n=1,2,3...)
f(x)~∑bnsin(nπx/L)
即为正弦级数