已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6 (Ⅰ)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求n为何值时,an最小(不需要求an的最小值)
题目
已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6
(Ⅰ)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)求n为何值时,an最小(不需要求an的最小值)
答案
(I)∵b
n=a
n+1-a
n,∴a
n+2-2a
n+1+a
n=b
n+1-b
n=2n-6
| ∴bn−bn−1=2(n−1)−6,bn−1−bn−2=2(n−2)−6,…,b2−b1=2−6 |
| |
将这n-1个等式相加,得
| bn−b1=2=2[1+2+…+(n−1)]−6(n−1) |
| |
∴
bn=n2−7n−8即数列{b
n}的通项公式为
bn=n2−7n−8(Ⅱ)若a
n最小,则a
n≤a
n-1且a
n≤a
n+1,即b
n-1≤0且b
n≥0
∴
| n2−7n−8≥0 | (n−1)2−7(n−1)−8≤0 |
| |
注意n是正整数,解得8≤n≤9
∴当n=8或n=9时,a
n的值相等并最小
(I)利用数列递推式及bn=an+1-an,写出n-1个等式相加,即可求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若an最小,则an≤an-1且an≤an+1,即bn-1≤0且bn≥0,由此可得结论.
数列递推式;数列的函数特性.
本题考查数列递推式,考查叠加法的运用,考查解不等式,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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