如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心. (1)求证:BC=2DM; (2)若DM=52,AB=8,求OM的长.
题目
如图,⊙O为△ABC的外接圆,BC为直径,AD平分∠BAC交⊙O于D,点M为△ABC的内心.
(1)求证:BC=
DM;
(2)若DM=
5,AB=8,求OM的长.
答案
(1)证明:连结MC、DC、BD,如图,
∵点M为△ABC的内心,
∴MC平分∠ACB,
∴∠ACM=∠BCM,
∵BC为直径,
∴∠BAC=90°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=
∠BAC=45°,
∴∠DBC=∠BCD=45°,
∴△BDC为等腰直角三角形,
∴BC=
DC,
又∵∠DMC=∠MAC+∠ACM=45°+∠ACM,
而∠DCM=∠BCD+∠BCM,
∴∠DMC=∠DCM,
∴DC=DM,
∴BC=
DM;
(2)作MF⊥BC于F,ME⊥AC于E,MH⊥AB于H,如图,
∵DM=
5,
∴BC=
DM=10,
而AB=8,
∴AC=
=6,
设△ABC的内切圆半径为r,
∵点M为△ABC的内心,
∴MH=ME=MF=r,
∴四边形AHME为正方形,
∴AH=AE=r,则CE=CF=6-r,BH=BF=8-r,
而BF+FC=BC,
∴8-r+6-r=10,解得r=2,
∴MF=2,CF=6-2=4,
∵OC=5,
∴OF=5-4=1,
在Rt△OMF中,OM=
=
.
(1)连结MC、DC、BD,根据内心的性质得∠ACM=∠BCM,根据圆周角定理由BC为直径得到∠BAC=90°,而AD平分∠BAC,则∠BAD=∠CAD=
∠BAC=45°,再次根据圆周角定理得到∠DBC=∠BCD=45°,于是可判断△BDC为等腰直角三角形,则BC=
DC,然后利用三角形外角性质证明∠DMC=∠DCM得到DC=DM,所以有BC=
DM;
(2)作MF⊥BC于F,ME⊥AC于E,MH⊥AB于H,根据(1)的结论由DM=
5得到BC=10,根据勾股定理计算出AC=6,根据切线长定理可计算出△ABC的内切圆半径为r=2,则可得到MF=2,CF=4,由OC=5得到OF=1,最后在Rt△OMF中利用勾故定理计算出OM.
三角形的内切圆与内心.
本题考查了三角形的内切圆与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了圆周角定理和勾股定理.
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