关于高等数学的一道证明题目

题目

关于高等数学的一道证明题目
已知f(x)在[0,1]上连续非负,而且f(0)=f(1)=0;求证：对于任意的a属于(0,1),总存在t属于[0,1),使f(t)=f(t+a).
设:u(x)=f(x)-f(x+a).在[0,1-a]上连续.
请问这个在[0,1-a]上连续是怎么得到的呢?

答案

因为0而f(x)在[0,1]上连续,两个连续函数的代数和仍为连续函数,其公共区间为[0,1-a]
设u(x)=f(x)-f(x+a),则u(0)=f(0)-f(a)=-f(a)<0
u(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)>0
因为u(x)连续,所以必然存在一个x=t,0则f(t)-f(t+a)=0